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中1数学①~③の記事に画像などを追加しました。

また、数Ⅰ、A、Ⅱ、Bのカテゴリーの記事で、センター試験に関連にある項目は画像などで補足しました。

H23数ⅡB 第4問 その2


ベクトルa, bの内積の値は?
ベクトルb,cの内積の値は?
ベクトルa,cの内積の値は?

直線AMと直線MNが垂直になるときの辺ABの長さはいくつか。


ベクトルの内積を求めるには
①ベクトルの成分を利用する
②cosを利用する
という2つのやり方がありますが、ベクトルの成分というのは今回の問題には出てきてないので、②のcosを利用して内積を求めていきます。


ベクトルa,bのなす角をθとすると:

となります。


ただし、それぞれの内積のcosθの値はわかっていないので、これを求めなければなりません。
どうするかというと、余弦定理を利用します。


△OABに関して余弦定理を利用すると(∠OABをθとする):
(2r)^2 = 1^2 + 1^2 -2×1×1×cosθ
(OAの長さは、△OBC≡△OADより、OBの長さと等しいので、1です)
これを cosθについて解くと:
cosθ = 1-2r^2
です。

したがって、|a|=1, |b|=1, cosθ=1-2r^2 ですので:
a・b = 1×1×(1-2r^2) = 1-2r^2


内積b・cを求めていきます。

△OBCについて、∠OBCをθとして、余弦定理を利用すると:
2^2 = 1^2 + (√3)^2 -2×1×√3×cosθ
cosθについて解くと:
cosθ=0
です。

よって、
b・c=0
になります。


内積a・cを求めていきます。

ACというのは長方形の対角線なので、△ABCに三平方の定理を利用し、
AC = √(4r^2 +4)
です。

△OACについて、∠OACをθとし、余弦定理を利用すると:
{√(4r^2 +4)}^2 = 1^2 + (√3)^2 -2×1×√3×cosθ
これをcosθについて解くと:
cosθ = -(2/√3)r^2

これと,|a|=1、|c|=√3を利用して:
a・c = 1×√3×{-(2/√3)r^2} = -2r^2


次にベクトルAMとベクトルMNの内積を求めていきます。

なぜ、内積を求めるかというと、AMとMNが「垂直」であるからです。ベクトルの問題で「垂直」という言葉が出てきたら:
2つのベクトルが垂直 ⇔ 2つのベクトルの内積は0
というのを利用することがほとんどです。

ここで、
AM= OM -OA =b/2 -a  (MはOBの中点なのでb/2書けます)
MN= ON - OM = (1/4)c - b/2 (ONは前の問題部分で求めてありました)
と置けるので:
AM・MN = (b/2 -a)・{(1/4)c - b/2}
     =  (1/8)b・c -(1/4)|b|^2 -(1/4)a・c +(1/2)a・b


(内積の性質を使って展開していきました。
内積の性質:



ここで、前の問題部分で求めたそれぞれの内積の値を代入すると:
AM・MN = 1/4 -(1/2)r^2
となります。

垂直ということは、この内積が0ということですから:
0 = 1/4 -(1/2)r^2
というのをr>0というのに注意して、rについて解くと:
r = 1/√2
になります。

ABの長さは2rですので:
AB = 2×(1/√2) = √2

H23数ⅡB 第4問

四角錐OABCDにおいて、三角形OBCと三角形OADは合同で、
OB=1
BC=2
OC=√3
であり、底面の四角形ABCDは長方形である。

AB=2r とおく。
ベクトルOA=ベクトルa
ベクトルOB=ベクトルb
ベクトルOC=ベクトルc
とおく。

ベクトルODをベクトルa, b,c を使って表すとどうなるか。


OD = OC+CD
です。
ここで、OCはcと置けますが、CDをどうにかa,b,cで表さなければなりません。

四角形ABCDは長方形であるので、CD=BA。
ベクトルBA=OA-OB=a-b
よって:
OD=c+a-b
=a-b+c
です。


辺ODを1:2に内分する点をLとすると、ベクトルALはどのように表すことができるか。


内分点の位置ベクトルの公式を使います。
下線文
位置ベクトルa,bを結んだ線分をm:nに内分する位置ベクトルは:

となります。


点Oは零ベクトルと考えることができますから:
OL=(2・0+ 1・OD) / (1+2) = (1/3)・OD
です。

ここで、ODというのは前の問題で求めてあるのでそれを代入すると:
(1/3)a-(1/3)b+(1/3)c
です。

また、ベクトルAL=OL-OA であるので、
AL = (1/3)a-(1/3)b+(1/3)c –a = -(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c
となります。


辺OBの中点をM、3点A,L,Mの定める平面をαとする。
平面αと辺OCとの交点をNとする。

点Nは平面α上にあることから、ベクトルANは実数s,tを用いて、
ベクトルAN=s・ベクトルAL+t・ベクトルAM
と表すことができる。

ベクトルONはどう表すことができるか。


ON=OA+AN
です。
OAはaですので、ANをa,b,cを使って表すようにします。

AL=-(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c (前の問題より)

AM=OA+OM
OMはOBの中点であるのでb/2
よって
AM=a+(b/2)

AN=sAL+tAMですので
s{(-2/3)a-(1/3)b+(1/3)c} +t{(a+(b/2)}

したがって:
ON = a + {s-(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c} + t{a+(b/2)}

これを整理すると:
ON= {1-(2/3)s-t}a + (-s/3+ t/2)b + s/(3c)
です。


一方、点Nが辺OC上にあることから、ベクトルONはベクトルcを用いてどう表すことができるか。

ONが辺OC上にあるとは、ON=kc と書けるような定数kがあるということです(同じことですが、ONをある定数倍したらcになる、と考えてもよいです)。

ONは先ほどの問題でa,b,cを使って表しました。このとき、aとbの係数が0になるようなsとtを求めればよいことになります(cの係数を見るとs/3となっているので、sの値だけがわかれば問題は解けます)。

よって、連立方程式:
・1-(2/3)s-t =0
・-s/3+ t/2 =0
を解けばよいです。

これを解くと:
s = 3/4
t = 1/2

したがって:
s/3 = 1/4

ON = (1/4)c
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