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★★発送について★★
■全国一律2000円/セット
北海道、沖縄、離島は2500円/セット
お支払いを確認後の発送となります。

★★お支払い方法★★
●Yahoo!かんたん決済


★★注意事項★★
●基本的キャンセル・クレーム不可
●入荷状況により予告なく細かな仕様変更がございます。その場合、写真ではなく現物が重視されますので神経質な方は入札をご遠慮ください。
●当商品は海外製品になりますので、細かいキズ、ネジのゆるみなどがある場合がありますが、返品・交換対象とはなりません。神経質な方のご入札はご遠慮ください。
●商品内容はあくまでも出品概要に基づきますのでご注意ください。
●本商品を使用した際に発生したトラブル、事故につきまして、当社は一切の責任を負いかねます。
●メーカーではないため、専門的なご質問にはお答えできません。
●検品確認済みですので破損以外の交換には応じられません。商品到着時にはその場で開封、破損の有無を確認し、破損の場合には受け取らないか配送業者に申し出てください。

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補足の連絡

中1数学①~③の記事に画像などを追加しました。

また、数Ⅰ、A、Ⅱ、Bのカテゴリーの記事で、センター試験に関連にある項目は画像などで補足しました。

H23数ⅡB 第4問 その2


ベクトルa, bの内積の値は?
ベクトルb,cの内積の値は?
ベクトルa,cの内積の値は?

直線AMと直線MNが垂直になるときの辺ABの長さはいくつか。


ベクトルの内積を求めるには
①ベクトルの成分を利用する
②cosを利用する
という2つのやり方がありますが、ベクトルの成分というのは今回の問題には出てきてないので、②のcosを利用して内積を求めていきます。


ベクトルa,bのなす角をθとすると:

となります。


ただし、それぞれの内積のcosθの値はわかっていないので、これを求めなければなりません。
どうするかというと、余弦定理を利用します。


△OABに関して余弦定理を利用すると(∠OABをθとする):
(2r)^2 = 1^2 + 1^2 -2×1×1×cosθ
(OAの長さは、△OBC≡△OADより、OBの長さと等しいので、1です)
これを cosθについて解くと:
cosθ = 1-2r^2
です。

したがって、|a|=1, |b|=1, cosθ=1-2r^2 ですので:
a・b = 1×1×(1-2r^2) = 1-2r^2


内積b・cを求めていきます。

△OBCについて、∠OBCをθとして、余弦定理を利用すると:
2^2 = 1^2 + (√3)^2 -2×1×√3×cosθ
cosθについて解くと:
cosθ=0
です。

よって、
b・c=0
になります。


内積a・cを求めていきます。

ACというのは長方形の対角線なので、△ABCに三平方の定理を利用し、
AC = √(4r^2 +4)
です。

△OACについて、∠OACをθとし、余弦定理を利用すると:
{√(4r^2 +4)}^2 = 1^2 + (√3)^2 -2×1×√3×cosθ
これをcosθについて解くと:
cosθ = -(2/√3)r^2

これと,|a|=1、|c|=√3を利用して:
a・c = 1×√3×{-(2/√3)r^2} = -2r^2


次にベクトルAMとベクトルMNの内積を求めていきます。

なぜ、内積を求めるかというと、AMとMNが「垂直」であるからです。ベクトルの問題で「垂直」という言葉が出てきたら:
2つのベクトルが垂直 ⇔ 2つのベクトルの内積は0
というのを利用することがほとんどです。

ここで、
AM= OM -OA =b/2 -a  (MはOBの中点なのでb/2書けます)
MN= ON - OM = (1/4)c - b/2 (ONは前の問題部分で求めてありました)
と置けるので:
AM・MN = (b/2 -a)・{(1/4)c - b/2}
     =  (1/8)b・c -(1/4)|b|^2 -(1/4)a・c +(1/2)a・b


(内積の性質を使って展開していきました。
内積の性質:



ここで、前の問題部分で求めたそれぞれの内積の値を代入すると:
AM・MN = 1/4 -(1/2)r^2
となります。

垂直ということは、この内積が0ということですから:
0 = 1/4 -(1/2)r^2
というのをr>0というのに注意して、rについて解くと:
r = 1/√2
になります。

ABの長さは2rですので:
AB = 2×(1/√2) = √2

H23数ⅡB 第4問

四角錐OABCDにおいて、三角形OBCと三角形OADは合同で、
OB=1
BC=2
OC=√3
であり、底面の四角形ABCDは長方形である。

AB=2r とおく。
ベクトルOA=ベクトルa
ベクトルOB=ベクトルb
ベクトルOC=ベクトルc
とおく。

ベクトルODをベクトルa, b,c を使って表すとどうなるか。


OD = OC+CD
です。
ここで、OCはcと置けますが、CDをどうにかa,b,cで表さなければなりません。

四角形ABCDは長方形であるので、CD=BA。
ベクトルBA=OA-OB=a-b
よって:
OD=c+a-b
=a-b+c
です。


辺ODを1:2に内分する点をLとすると、ベクトルALはどのように表すことができるか。


内分点の位置ベクトルの公式を使います。
下線文
位置ベクトルa,bを結んだ線分をm:nに内分する位置ベクトルは:

となります。


点Oは零ベクトルと考えることができますから:
OL=(2・0+ 1・OD) / (1+2) = (1/3)・OD
です。

ここで、ODというのは前の問題で求めてあるのでそれを代入すると:
(1/3)a-(1/3)b+(1/3)c
です。

また、ベクトルAL=OL-OA であるので、
AL = (1/3)a-(1/3)b+(1/3)c –a = -(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c
となります。


辺OBの中点をM、3点A,L,Mの定める平面をαとする。
平面αと辺OCとの交点をNとする。

点Nは平面α上にあることから、ベクトルANは実数s,tを用いて、
ベクトルAN=s・ベクトルAL+t・ベクトルAM
と表すことができる。

ベクトルONはどう表すことができるか。


ON=OA+AN
です。
OAはaですので、ANをa,b,cを使って表すようにします。

AL=-(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c (前の問題より)

AM=OA+OM
OMはOBの中点であるのでb/2
よって
AM=a+(b/2)

AN=sAL+tAMですので
s{(-2/3)a-(1/3)b+(1/3)c} +t{(a+(b/2)}

したがって:
ON = a + {s-(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c} + t{a+(b/2)}

これを整理すると:
ON= {1-(2/3)s-t}a + (-s/3+ t/2)b + s/(3c)
です。


一方、点Nが辺OC上にあることから、ベクトルONはベクトルcを用いてどう表すことができるか。

ONが辺OC上にあるとは、ON=kc と書けるような定数kがあるということです(同じことですが、ONをある定数倍したらcになる、と考えてもよいです)。

ONは先ほどの問題でa,b,cを使って表しました。このとき、aとbの係数が0になるようなsとtを求めればよいことになります(cの係数を見るとs/3となっているので、sの値だけがわかれば問題は解けます)。

よって、連立方程式:
・1-(2/3)s-t =0
・-s/3+ t/2 =0
を解けばよいです。

これを解くと:
s = 3/4
t = 1/2

したがって:
s/3 = 1/4

ON = (1/4)c
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