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中1数学④～⑧の記事に画像を追加するなどして、補足をしました。
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補足の連絡
中1数学①～③の記事に画像などを追加しました。
また、数Ⅰ、A、Ⅱ、Bのカテゴリーの記事で、センター試験に関連にある項目は画像などで補足しました。
また、数Ⅰ、A、Ⅱ、Bのカテゴリーの記事で、センター試験に関連にある項目は画像などで補足しました。
H23数ⅡB 第4問 その2
ベクトルa, bの内積の値は？
ベクトルb,cの内積の値は？
ベクトルa,cの内積の値は？
直線AMと直線MNが垂直になるときの辺ABの長さはいくつか。
ベクトルの内積を求めるには
①ベクトルの成分を利用する
②cosを利用する
という2つのやり方がありますが、ベクトルの成分というのは今回の問題には出てきてないので、②のcosを利用して内積を求めていきます。
ベクトルa,bのなす角をθとすると：
となります。
ただし、それぞれの内積のcosθの値はわかっていないので、これを求めなければなりません。
どうするかというと、余弦定理を利用します。
△OABに関して余弦定理を利用すると（∠OABをθとする)：
(2r)^2 = 1^2 + 1^2 -2×1×1×cosθ
（OAの長さは、△OBC≡△OADより、OBの長さと等しいので、1です）
これを cosθについて解くと：
cosθ = 1-2r^2
です。
したがって、｜a｜＝1, ｜b｜＝1, cosθ=1-2r^2 ですので：
a・b ＝ 1×1×（1-2r^2) = 1-2r^2
内積b・cを求めていきます。
△OBCについて、∠OBCをθとして、余弦定理を利用すると：
2^2 = 1^2 + (√3)^2 -2×1×√3×cosθ
cosθについて解くと：
cosθ＝0
です。
よって、
ｂ・ｃ＝0
になります。
内積a・cを求めていきます。
ACというのは長方形の対角線なので、△ABCに三平方の定理を利用し、
AC = √(4r^2 +4)
です。
△OACについて、∠OACをθとし、余弦定理を利用すると：
{√(4r^2 +4)}^2 = 1^2 + (√3)^2 -2×1×√3×cosθ
これをcosθについて解くと：
cosθ = －(2/√3）r^2
これと,｜a｜＝１、｜c｜＝√3を利用して：
a・c ＝ 1×√3×{－(2/√3）r^2} ＝ －2r^2
次にベクトルAMとベクトルMNの内積を求めていきます。
なぜ、内積を求めるかというと、AMとMNが「垂直」であるからです。ベクトルの問題で「垂直」という言葉が出てきたら：
2つのベクトルが垂直 ⇔ 2つのベクトルの内積は0
というのを利用することがほとんどです。
ここで、
AM= OM －OA ＝b/2 -a (MはOBの中点なのでb/2書けます）
MN= ON - OM = (1/4)c - b/2 (ONは前の問題部分で求めてありました）
と置けるので：
AM・MN ＝ (b/2 -a)・{(1/4)c - b/2}
＝ (1/8)b・c -(1/4)｜b｜^2 -(1/4)a・c +(1/2)a・b
（内積の性質を使って展開していきました。
内積の性質：
ここで、前の問題部分で求めたそれぞれの内積の値を代入すると：
AM・MN ＝ 1/4 -(1/2)r^2
となります。
垂直ということは、この内積が0ということですから：
0 = 1/4 -(1/2)r^2
というのをr＞0というのに注意して、ｒについて解くと：
r = 1/√2
になります。
ABの長さは2rですので：
AB = 2×(1/√2) = √2
H23数ⅡB 第4問
四角錐OABCDにおいて、三角形OBCと三角形OADは合同で、
OB=1
BC=2
OC=√3
であり、底面の四角形ABCDは長方形である。
AB＝2r とおく。
ベクトルOA＝ベクトルa
ベクトルOB＝ベクトルb
ベクトルOC＝ベクトルc
とおく。
ベクトルODをベクトルa, b,c を使って表すとどうなるか。
OD ＝ OC＋CD
です。
ここで、OCはcと置けますが、CDをどうにかa,b,cで表さなければなりません。
四角形ABCDは長方形であるので、CD=BA。
ベクトルBA＝OA－OB=a-b
よって：
OD＝c+a-b
=a-b+c
です。
辺ODを1:2に内分する点をLとすると、ベクトルALはどのように表すことができるか。
内分点の位置ベクトルの公式を使います。
下線文
位置ベクトルa,bを結んだ線分をm:nに内分する位置ベクトルは：
となります。
点Oは零ベクトルと考えることができますから：
OL＝(2・0+ 1・OD) / (1+2) = (1/3)・OD
です。
ここで、ODというのは前の問題で求めてあるのでそれを代入すると：
(1/3)a-(1/3)b+(1/3)c
です。
また、ベクトルAL＝OL-OA であるので、
AL = (1/3)a-(1/3)b＋(1/3)c –a = -(2/3)a-(1/3)b＋(1/3)c
となります。
辺OBの中点をM、3点A,L,Mの定める平面をαとする。
平面αと辺OCとの交点をNとする。
点Nは平面α上にあることから、ベクトルANは実数s,tを用いて、
ベクトルAN=s・ベクトルAL＋t・ベクトルAM
と表すことができる。
ベクトルONはどう表すことができるか。
ON=OA＋AN
です。
OAはaですので、ANをa,b,cを使って表すようにします。
AL=-(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c （前の問題より）
AM＝OA＋OM
OMはOBの中点であるのでb/2
よって
AM=a+(b/2)
AN＝sAL+tAMですので
s{(-2/3)a-(1/3)b+(1/3)c} +t{(a+(b/2)}
したがって：
ON = a + {s-(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c} + t{a+(b/2)}
これを整理すると：
ON= {1-(2/3)s-t}a + (-s/3+ t/2)b + s/(3c)
です。
一方、点Nが辺OC上にあることから、ベクトルONはベクトルcを用いてどう表すことができるか。
ONが辺OC上にあるとは、ON=kc と書けるような定数kがあるということです（同じことですが、ONをある定数倍したらｃになる、と考えてもよいです）。
ONは先ほどの問題でa,b,cを使って表しました。このとき、aとbの係数が0になるようなsとtを求めればよいことになります(cの係数を見るとs/3となっているので、sの値だけがわかれば問題は解けます)。
よって、連立方程式：
・1-(2/3)s-t =0
・-s/3+ t/2 =0
を解けばよいです。
これを解くと：
s = 3/4
t = 1/2
したがって：
s/3 = 1/4
ON = (1/4)c
OB=1
BC=2
OC=√3
であり、底面の四角形ABCDは長方形である。
AB＝2r とおく。
ベクトルOA＝ベクトルa
ベクトルOB＝ベクトルb
ベクトルOC＝ベクトルc
とおく。
ベクトルODをベクトルa, b,c を使って表すとどうなるか。
OD ＝ OC＋CD
です。
ここで、OCはcと置けますが、CDをどうにかa,b,cで表さなければなりません。
四角形ABCDは長方形であるので、CD=BA。
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です。
ここで、ODというのは前の問題で求めてあるのでそれを代入すると：
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したがって、色が微妙に違う、思ってた質感ではない等の返品はお断りしております。ご了承ください。
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