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中1数学①~③の記事に画像などを追加しました。
また、数Ⅰ、A、Ⅱ、Bのカテゴリーの記事で、センター試験に関連にある項目は画像などで補足しました。
また、数Ⅰ、A、Ⅱ、Bのカテゴリーの記事で、センター試験に関連にある項目は画像などで補足しました。
H23数ⅡB 第4問 その2
ベクトルa, bの内積の値は?
ベクトルb,cの内積の値は?
ベクトルa,cの内積の値は?
直線AMと直線MNが垂直になるときの辺ABの長さはいくつか。
ベクトルの内積を求めるには
①ベクトルの成分を利用する
②cosを利用する
という2つのやり方がありますが、ベクトルの成分というのは今回の問題には出てきてないので、②のcosを利用して内積を求めていきます。
ベクトルa,bのなす角をθとすると:
となります。
ただし、それぞれの内積のcosθの値はわかっていないので、これを求めなければなりません。
どうするかというと、余弦定理を利用します。
△OABに関して余弦定理を利用すると(∠OABをθとする):
(2r)^2 = 1^2 + 1^2 -2×1×1×cosθ
(OAの長さは、△OBC≡△OADより、OBの長さと等しいので、1です)
これを cosθについて解くと:
cosθ = 1-2r^2
です。
したがって、|a|=1, |b|=1, cosθ=1-2r^2 ですので:
a・b = 1×1×(1-2r^2) = 1-2r^2
内積b・cを求めていきます。
△OBCについて、∠OBCをθとして、余弦定理を利用すると:
2^2 = 1^2 + (√3)^2 -2×1×√3×cosθ
cosθについて解くと:
cosθ=0
です。
よって、
b・c=0
になります。
内積a・cを求めていきます。
ACというのは長方形の対角線なので、△ABCに三平方の定理を利用し、
AC = √(4r^2 +4)
です。
△OACについて、∠OACをθとし、余弦定理を利用すると:
{√(4r^2 +4)}^2 = 1^2 + (√3)^2 -2×1×√3×cosθ
これをcosθについて解くと:
cosθ = -(2/√3)r^2
これと,|a|=1、|c|=√3を利用して:
a・c = 1×√3×{-(2/√3)r^2} = -2r^2
次にベクトルAMとベクトルMNの内積を求めていきます。
なぜ、内積を求めるかというと、AMとMNが「垂直」であるからです。ベクトルの問題で「垂直」という言葉が出てきたら:
2つのベクトルが垂直 ⇔ 2つのベクトルの内積は0
というのを利用することがほとんどです。
ここで、
AM= OM -OA =b/2 -a (MはOBの中点なのでb/2書けます)
MN= ON - OM = (1/4)c - b/2 (ONは前の問題部分で求めてありました)
と置けるので:
AM・MN = (b/2 -a)・{(1/4)c - b/2}
= (1/8)b・c -(1/4)|b|^2 -(1/4)a・c +(1/2)a・b
(内積の性質を使って展開していきました。
内積の性質:
ここで、前の問題部分で求めたそれぞれの内積の値を代入すると:
AM・MN = 1/4 -(1/2)r^2
となります。
垂直ということは、この内積が0ということですから:
0 = 1/4 -(1/2)r^2
というのをr>0というのに注意して、rについて解くと:
r = 1/√2
になります。
ABの長さは2rですので:
AB = 2×(1/√2) = √2
H23数ⅡB 第4問
四角錐OABCDにおいて、三角形OBCと三角形OADは合同で、
OB=1
BC=2
OC=√3
であり、底面の四角形ABCDは長方形である。
AB=2r とおく。
ベクトルOA=ベクトルa
ベクトルOB=ベクトルb
ベクトルOC=ベクトルc
とおく。
ベクトルODをベクトルa, b,c を使って表すとどうなるか。
OD = OC+CD
です。
ここで、OCはcと置けますが、CDをどうにかa,b,cで表さなければなりません。
四角形ABCDは長方形であるので、CD=BA。
ベクトルBA=OA-OB=a-b
よって:
OD=c+a-b
=a-b+c
です。
辺ODを1:2に内分する点をLとすると、ベクトルALはどのように表すことができるか。
内分点の位置ベクトルの公式を使います。
下線文
位置ベクトルa,bを結んだ線分をm:nに内分する位置ベクトルは:
となります。
点Oは零ベクトルと考えることができますから:
OL=(2・0+ 1・OD) / (1+2) = (1/3)・OD
です。
ここで、ODというのは前の問題で求めてあるのでそれを代入すると:
(1/3)a-(1/3)b+(1/3)c
です。
また、ベクトルAL=OL-OA であるので、
AL = (1/3)a-(1/3)b+(1/3)c –a = -(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c
となります。
辺OBの中点をM、3点A,L,Mの定める平面をαとする。
平面αと辺OCとの交点をNとする。
点Nは平面α上にあることから、ベクトルANは実数s,tを用いて、
ベクトルAN=s・ベクトルAL+t・ベクトルAM
と表すことができる。
ベクトルONはどう表すことができるか。
ON=OA+AN
です。
OAはaですので、ANをa,b,cを使って表すようにします。
AL=-(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c (前の問題より)
AM=OA+OM
OMはOBの中点であるのでb/2
よって
AM=a+(b/2)
AN=sAL+tAMですので
s{(-2/3)a-(1/3)b+(1/3)c} +t{(a+(b/2)}
したがって:
ON = a + {s-(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c} + t{a+(b/2)}
これを整理すると:
ON= {1-(2/3)s-t}a + (-s/3+ t/2)b + s/(3c)
です。
一方、点Nが辺OC上にあることから、ベクトルONはベクトルcを用いてどう表すことができるか。
ONが辺OC上にあるとは、ON=kc と書けるような定数kがあるということです(同じことですが、ONをある定数倍したらcになる、と考えてもよいです)。
ONは先ほどの問題でa,b,cを使って表しました。このとき、aとbの係数が0になるようなsとtを求めればよいことになります(cの係数を見るとs/3となっているので、sの値だけがわかれば問題は解けます)。
よって、連立方程式:
・1-(2/3)s-t =0
・-s/3+ t/2 =0
を解けばよいです。
これを解くと:
s = 3/4
t = 1/2
したがって:
s/3 = 1/4
ON = (1/4)c
OB=1
BC=2
OC=√3
であり、底面の四角形ABCDは長方形である。
AB=2r とおく。
ベクトルOA=ベクトルa
ベクトルOB=ベクトルb
ベクトルOC=ベクトルc
とおく。
ベクトルODをベクトルa, b,c を使って表すとどうなるか。
OD = OC+CD
です。
ここで、OCはcと置けますが、CDをどうにかa,b,cで表さなければなりません。
四角形ABCDは長方形であるので、CD=BA。
ベクトルBA=OA-OB=a-b
よって:
OD=c+a-b
=a-b+c
です。
辺ODを1:2に内分する点をLとすると、ベクトルALはどのように表すことができるか。
内分点の位置ベクトルの公式を使います。
下線文
位置ベクトルa,bを結んだ線分をm:nに内分する位置ベクトルは:
となります。
点Oは零ベクトルと考えることができますから:
OL=(2・0+ 1・OD) / (1+2) = (1/3)・OD
です。
ここで、ODというのは前の問題で求めてあるのでそれを代入すると:
(1/3)a-(1/3)b+(1/3)c
です。
また、ベクトルAL=OL-OA であるので、
AL = (1/3)a-(1/3)b+(1/3)c –a = -(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c
となります。
辺OBの中点をM、3点A,L,Mの定める平面をαとする。
平面αと辺OCとの交点をNとする。
点Nは平面α上にあることから、ベクトルANは実数s,tを用いて、
ベクトルAN=s・ベクトルAL+t・ベクトルAM
と表すことができる。
ベクトルONはどう表すことができるか。
ON=OA+AN
です。
OAはaですので、ANをa,b,cを使って表すようにします。
AL=-(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c (前の問題より)
AM=OA+OM
OMはOBの中点であるのでb/2
よって
AM=a+(b/2)
AN=sAL+tAMですので
s{(-2/3)a-(1/3)b+(1/3)c} +t{(a+(b/2)}
したがって:
ON = a + {s-(2/3)a-(1/3)b+(1/3)c} + t{a+(b/2)}
これを整理すると:
ON= {1-(2/3)s-t}a + (-s/3+ t/2)b + s/(3c)
です。
一方、点Nが辺OC上にあることから、ベクトルONはベクトルcを用いてどう表すことができるか。
ONが辺OC上にあるとは、ON=kc と書けるような定数kがあるということです(同じことですが、ONをある定数倍したらcになる、と考えてもよいです)。
ONは先ほどの問題でa,b,cを使って表しました。このとき、aとbの係数が0になるようなsとtを求めればよいことになります(cの係数を見るとs/3となっているので、sの値だけがわかれば問題は解けます)。
よって、連立方程式:
・1-(2/3)s-t =0
・-s/3+ t/2 =0
を解けばよいです。
これを解くと:
s = 3/4
t = 1/2
したがって:
s/3 = 1/4
ON = (1/4)c
◆商品説明◆
◆サイズ:LL
◆着丈(背面の襟ぐりから裾まで)- 約83 cm
◆身幅(右脇下部分から左脇下まで)-約60 cm
◆肩幅(背面の右肩付け根から左肩付け根まで)-約55 cm
◆袖丈(肩付け根部分から袖口まで)-約57 cm
※採寸の多少の誤差はご了承ください
他にも人気ブランドの商品を多数出品しております。希望のサイズ・デザイン等がないかどうか★ぜひチェックしてみてください★
◆お色:ブラック
◆素材:(画像4参照)
デザイン性に優れた上質な一着です★
◆商品の状態◆
■状態ランク: A
状態詳細
(コンディションに関しましては当方の主観による判断になります。御不明な点がございましたら必ずご質問願います。慎重にチェックは行っていますが、汚れ/傷のわずかな見落とし等は中古品という事でご了承下さい。)
※北海道1200円 沖縄1300円
追跡番号連絡・運送保証・営業所留めのサービスがございます。同梱可能です。
※同梱については100サイズまででしたら追加の送料はいただきません。それ以上のサイズに関しましても、お得な料金となっておりますのでご相談ください。
■入札前に自己紹介欄もご覧になって下さい。
ご連絡事項のお知らせをする場合がございます。(年末・お盆等の長期休み、長期外出の連絡等)また、 特定商取引法の表示がございます。
■商品写真はデジタルカメラで撮影したものです。撮影時の明るさや自動色彩補正、入札者様がお使いになっているPCモニターの設定・性能(寒色・暖色の強さ、明るさの設定)等によって、実際の色と若干の誤差が生じる場合がございますのでご了承ください。
■サイズにつきましては、記載サイズの通りに出品しております。 製造ブランドや製造モデルによるサイズ表記の誤差についてはご了承ください。
こちらに重大な過失がある場合を除き、原則、サイズ違いが理由での返品は不可とさせていただいております。
■商品は正規品/本物です。コピー商品だった場合等は返金致します。
出品リストはこちらです★↓↓クリック↓↓
◆出品者について
352-0014
埼玉県新座市栄3-10-9
責任者:望月
◆古物商表明項目
許可公安委員会名:埼玉県公安委員会
免許番号:第431360034 331号